第一章电路的基本概概念和基本定律

支路：每一个二端元件叫做一个支路。还有其他引伸的定义，有时把几个二端元件串联成的组合作为一个支路。

节点：两个及两个以上支路的连接点叫节点。

回路：由几个支路组成的闭合路径。

电子和质子都是带电的粒子，电子带负电，质子带正电。

电荷量的单位为库仑，简称库，符号为C，每个电子和质子所带的电荷量相等，约为,1C约等于个电子所带的电荷量。

带电粒子有秩序地运动，就形成电流，正电荷和负电荷的流动都形成电流。自由电子的运动方向与电场方向相反。

重要公式：

重要提示：有正/负电荷同时流过时，其电流是正电荷电流+负电荷电流。

电压：两点间电压的大小等于单位电荷量从一点移到另一点时能量的改变量，。

并规定：如果正电荷由a移到b时能量减少，则此两点间电压的方向从a到b。

参考方向：在电路图中，电流，电压的参考方向都用实线箭头表示，而实际方向用虚线箭头表示。参考方向还可用双下标表示，如表示参考方向是由a到b。

列KCL方程时参考方向的选取一般以流出节点为正，因为正电荷的电场方向是这样的。

关联参考方向：一个支路的支路电流、支路电压可以选一致的参考方向，叫做关联参考方向，如不加说明，都选择关联参考方向，这样，在电路中，对一个支路，只需标出电流或电压中的任一个就行了。否则叫非关联参考方向。

电位的参考点又叫零电位点。

电动势：电场力总是使正电荷从高电位处移向低电位处，在实际电源中，有一种电源力，正电荷在它的作用下将从低电位处移向高电位处，由于电源力而使电源两端具有的电位的差叫做电动势。并规定：电动势的方向是由电位低的一端到电位高的一端，电位高的一端叫正极，电位低的一端叫负极，电动势的方向规定从负极到正极。

◆接受与发出功率：

关联参考方向时：功率为正值表示接受功率，功率为负值表示发出功率。

非关联参考方向时：功率为正值表示发出功率，功率为负值表示接受功率。

电能：电能的单位为焦耳。符号J。公式：

所以：1度电=1KWh=1000W乘以3600秒=3.6乘10的6次方焦耳。

基尔霍夫电流定律KCL：对电路中的任一节点，任一瞬间，向它流进的所有电流的和必定等于从它流出的所有电流的和。

列节点电流方程时，从节点流出的电流取正号，流进节点的电流取负号。

2个端钮构成一个端口，称为一端口网络。

基尔霍夫电压定律KVL：沿电路中任一回路绕成一周，回路中各电路电压的代数和等于零。

特别指示：KCL和KVL与构成电路的元件性质是无关的，适用于任何电路（指集总参数电路）。

◆重中之重，根据KCL电流定律:流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和或者节点的电流之和等于0，列方程的方法如下：

设1个节点有5个电流流入

1． 首先标出参考方法（一般是流出为正，流进为负），得出电流的正负。

2． 列方程：

或列方程：

◆重中之重，根据KVL电压定律：沿电路中的任一回路绕行一周，回路中各支路电压的代数和等于零，如对所选参考方向与“绕行方向”一致的电压取正号，则对参考方向与绕行方向相反的电压取负号。

当回路中有电源时，电源的方向是电源外部正负极的方向，即不考虑电动势的问题。

电阻：

电阻的倒数叫电导：G=，电导的单位是西门子，简称西，符号为S。

金属导体的电阻：

通用的电阻率的单位为欧姆米，表示截面积为1平方米，长度1米的金属在20摄氏度的电阻。

电导率：

线性电阻元件：电压和电流的大小成正比即遵从欧姆定律的电阻元件，在u-i平面上，线性电阻元件的特性曲线为通过原点的直线。

零电阻叫短路，无限大电阻叫开路。

电阻元件总是接受功率，是耗能元件。

电阻温度系数：温度每升高1度时，导体电阻的增加值与原来电阻值的比值。用表示。其单位是，如铜的，特别注意：这个单位中没有百分比的概念，/不是百分比是每度的意思，这个地方易出错。

以下好好说说这个公式：

一个导体温度从t1变到t2时， 

电容元件：

电容器的电流为：,因为，因为C电容是常数，所以公式变成下面形式：（式1-15）想要知道流过电容的瞬间电流，必须要知道电压的变化率

此式表明，电容元件电压增加时电压电流方向一致，电压减少时电压电流方向相反。电容元件任一瞬间电流的大小并不取决于这一瞬间电压的大小，而是与这一瞬间电压的变化率成正比。电容电压变化越快，电流越大，反之越小。电容元件虽有电压，但如果电压不变，则其电流为零，这时的电容元件如同无限大电阻—开路。

变换式（1-15）可得电容元件的电压： （实质就是电流随时间的函数再乘以时间的微分即导函数乘以自变量的微分，本质就是电压的微分=电流的斜率乘以时间的变化率）。

上式可写成：

令  

则  

上式只要明确是什么函数，就可根据积分表求出面积函数。

参考《电子技术数学基础》267页。

应用：求电容器C对R放电时，电容器两端电压与时间的函数

电容串联公式： ,

电容的电场能量：

电感 ，是磁链（读作psi）的单位是韦伯，简称韦，符号Wb。电感的单位是亨利，简称H。

重要说明：磁链变化，产生感应电动势，使其两端具有电压，对和一般都选关联参考方向，并选与的参考方向一致，而可不加说明。

根据电磁感应定律电动势的大小：感应电动势的大小等于磁链随时间的变化率，

，，

根据楞次定律感应电动势趋向于产生与感应电动势相同的电流，来阻碍原来磁链的变化。

,由于选三者参考方向一致，

是流过电感的电流。

是电感产生的感应电动势。

是电感的感应电动势在电感两端产生的电压。

关于三者选参考方向时，u方向的确定方法：

1．电动势与电动势在电池两端产生的电压的方向是相反的。电压的方向是从正流向负，电动势的方向是使电流从负流到正。如果参考方向选高电位到低电位那么电压为正，电动势为负，如果参考方向选低电位到高电位，那电动势为正，电压为负。

所以电动势在电池两端产生的一个与电动势相反的电压，即

， ，

根据，可得电感元件的电流为下式：

令

则

磁链与电流的大小成正比关系的电感元件叫线性电感元件，否则叫非线性电感元件。

电感元件和电容元件都是动态元件，其电压，电流的波形一般不相似。

电感重要属性：线圈的电感与线圈的匝数的平方成正比。芯子的截面越大，电感量越大，芯子的截面越小，电感越小。

电感瞬间接受的功率为：，

时间内它从外部接受的能量为：

电感电流由0增加为i时，它接受的能量总共为：（这是个定积分公式）

电压源电流源知识：用表示电压源。用表示电流源。

的电压源是电压保持为零，电流由外部决定的二端元件。所以的电阻即短路，等于的电压源。

电压源的电压不因外部电路的不同而不同，电流源的电流不因其外部电路的不同而不同，它们是独立存在的，所以电压源和电流源总称为独立电源。简称独立源。

电压源与电流源互换：可用电压源与电阻的串联组合作为直流电源的电路模型。还可用电流源与电阻并联组合。

受控源定义：一个受控源由两个支路组成，一个支路是短路（或开路）；另一个支路如同电流源（或电压源），而其电流（或电压）受短路支路的电流（或开路支路的电压）控制。

特别注意易出错的地方：左上图0.5i是一个电流，右上图0.5i是一个电压，左下图0.5u是一个电流，右下图3u是一个电压。即对于受控源一定要先分析出，输出是电压还是电流。

第二章电阻性电路的分析计算

由电阻元件，独立源以及受控源组成的电路叫电阻电路，互连约束关系是线性代数关系。所以电阻电路的方程为代数方程，线性电阻电路的方程为线性代数方程。本章主要分析这种电路。

含电容，电感等动态元件的电路叫动态电路。动态电路的方程是微分或微分积分方程。

激励：以电压或电流形式向电路输入的能量或信号叫激励信号，简称激励。

响应：经过电路传输处理后输出的信号叫响应信号，简称响应。

◆ 电阻R1和R2并联电路的实用公式： 

电压源与电阻串联可以等效成电流源与电阻并联。

电流源与电阻并联可以等效成电压源与电阻串联。

星形联接：

三角形联接：

2b法对于有n个节点，b个支路的电路，可以列方程如下：

n-1个节点电流方程

b-(n-1)个回路电压方程

b个支路方程

n-1+b-(n-1)+b=n-1+b-n+1+b=2b 所列独立方程总数为2b个。

第四节支路法，未知数是支路电流，（一般只用支路电流法），以各支路电流为求解的未知数，不引入支路电压的方法。

步骤如下：

1 在电路图中选定各支路电流（b个）的参考方向，设出各支路电流。

2 对一组独立节点列（n-1）个节点电流方程。

3 用支路电流表示支路电压，列b-(n-1)个回路电压方程（就是网孔电压方程）。

4 联立求解所列b个方程。

例：求下图中支路电流x,y,m

答：按KVL列方程组，参考方向与绕行方向相同为+，否则为-

2式相加

经orcad仿真结果如下，验证是对的。

网孔电流法（未知数是网孔电流），以网孔电流为求解未知数，是支路法的改进，由于网孔的概念只适用于平面电路，网孔法也只适用于平面电路。

方法是：以电路的b-(n-1)个网孔电流为未知数，按KVL列b-(n-1)个网孔电压方程联立求解，再从网孔电流求出其他。

例题如下，求各支路电流。

重要说明：i1 i2 i3必须与i11 i22 i33方向相同，否则i1,i2,i3只绝对值正确，但方向错误，其余3支路，必会出错。

列回路电流的KVL方程如下：      

自电阻：   

仿真结果与计算结果完全相同！

上题的第2种解法，可以看出，算出i1,i2,i3就能求另3个电流，列3个回路的KVL方程如下：

到这与上相同。

网孔法总结——怎样快速列自电阻与互电阻的KVL方程：

1） 设定KVL绕行方向，由于电压与电流是关联参考方向，所以这就相当于设定了网孔电流的参考方向，且网孔电流方向必须与绕行方向相同，一般只考虑2种选择——顺时钟方向、逆时钟方向。支路电流再由网孔电流经计算得出。

2） 列网孔电流与支路电流的关系式。

3） 算出各网孔的自电阻和互电阻。

4） 写出KVL方程，自电阻为正，互电阻为负。

5） 易出错的地方有，把电压数值与电阻数值搞混。总之就是方程没列对。

例子如下：

1） 设定了电压的绕行方向，也就是网孔电流的方向。

2） 剩下3个支路的电流参考方向也设定了。

节点法：未知数是节点电压，以电路的(n-1)个节点电压为未知数，按KCL列(n-1)个节点电流方程联立求解，再从节点电压求出其他。

列3个节点的KCL方程

第1步列支路电流方程，不用考虑电流方向。

第2步以流进节点的电流为正，列KCL方程，并求出节点电压。

A,

C,

B,

第3步，按第1步的方程和节点电压求出各支路电流。

列3个节点的KCL方程

第1步根据各支路的参考电流方向列支路电流方程，不用考虑节点电流方向是以流进（或流出）为正。

第2步以流出节点的电流为正，列KCL方程，并求出节点电压。

A,

C,

B,

重要规律：列KCL方程时，以流出节点的电流为正，则自电导恒为正，互电导恒为负，电动势指向节点的电流为正。总结，节点自电导产生的电流减去互电导产生的电流等于电流源产生的电流和。

第3步，按第1步的方程和节点电压求出各支路电流。

快速列KCL电导方程的方法：

1） 关于电流的参考方向的选取，仔细研究后发现是以经典定义：以正电荷的电流方向做为电流的方向，对一个节点来讲，正电荷方向是流出节点的。所以电流参考方向是以流出节点的方向为正。

2） 自电导恒为正，互电导恒为负，与参考方向的选择没有关系

3） 把电压源与电阻的串联等效成电流源与电阻的并联；电流源全放在等式右边，电流源符号正负的选定原则是：当电流源的正极与节点相连就取正号否则取负号（相当于把电流源移到等号右边时，符号要取反）。所以书中68页倒数第5行没有讲清楚。

例2：

 电流计算转上图右边。

弥尔曼定理，用于求如下图两端的电压。

用支路法解题：

a点自电导：

互电导：因为a点没联到其它的电位，只与地连连。所以互电导项没有。

电流源项有（电流源以流入节点为正）：。

列支路法KCL方程如下：

推出弥尔曼定理：几个电压源与电阻串联的支路，并联后的电压为等效电流源的代数和与自电导之比。

叠加定理：线性电路中，每一支路的电流（或电压）响应都等于每个独立源单独作用下对此支路产生的电流（或电压）响应的代数和。电源单独作用是指当这个电源单独作用于电路时，其他电源都要取零值，也就是电压源用短路代替，电流源用开路代替。

！注意：只适于线性电路，非线性网络不适用；只适用于电流，电压，对功率不适用。

例：求下图中a点的电压。

用叠加定理把上图画成以下三个图

只考虑I3和V7：

只考虑V11：

只考虑V15：

叠加后为：1.36359+1.818-1.0909=2.09069    （仿真结果相同，计算正确）

总结：上面可列成一个式子求解。

替代（置换）定理：如电路中某支路的电压为u，电流为i，则此支路可用电压等于u的电压源替代，或用电流等于i的电流源替代，而电路中的各电压，电流不变。我觉得主要原理就是替换后保持那点的电压不变。或电流不变。

戴维南定理预备知识：含电阻，受控源，不含独立源的二端电阻网络，可以等效为一个电阻。

含独立源的二端电阻网络将如何呢？戴维南定理和诺顿定理用于解决这类问题。

戴维南定理：含独立源的线性二端电阻网络，对其外部而言，一般可用电压源与一个电阻串联等效。该电压源的电压等于网络的开路电压，该电阻等于网络内部所有独立源作用为零情况下的网络的等效电阻。的电压源，就是R=0的电阻，即短路。

重要：戴维南等效电阻等于网络的开路电压比短路电流。

诺顿定理：含独立源的线性二端电阻网络，对其外部而言，一般可用电流源电阻并联组合等效代替，电流源的电流等于网络的短路电流，电阻等于网络除源后的等效电阻。

戴维南定理和诺顿定理合称电源等效定理，其基础是叠加定理，所以也只适于线性网络。

第三章正弦交流电路

正弦量的一般解析式为 ；相位角，

正弦量的三要素：最大值，角频率，初相位。

简称相位；

重中之重：初相位，简称初相。

什么是初相位：那就是就时的相位，t=0也就是计时的起点时的相位。规定初相的绝对值不超过。

什么是计时起点：当t=0时,函数函数值。

注意：正弦波的一个周期内瞬时值两次为零，规定瞬时值由负向正变化之间的一个叫做它的零值。

有效值：一个周期量和一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生的热量相等，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。周期量的有效值用大写字母U，I表示。

正弦波的有效值等于0.707最大值。如果不加说明，交流量的大小皆指有效值，正弦值的解析式常写为。

正弦量的旋转矢量表示法：用最大值的黑斜体表示旋转矢量。

正弦量的相量表示法：用来表示正弦量的复数称为相量。

1） 首先矢量可以相量表示，而相量又可以用复数表示。因此相量法是矢量法的改进。

2） 相量的书写符号为正弦量的有效值用黑斜体字母表示。即I、U、E。

一个复数有四种表示形式：

复数的模（也叫复数的绝对值）特别说明复数的模应取的算术平方根。即复数的模永远为正数。

在复数运算过程中，加减运算采用代数形式比较方便；乘除、乘方、开方运算采用极坐标形式比较方便。为此，上述四种形式之间的相互转化必须熟练掌握。

共轭复数：实部完全相同，而虚数的符号相反但绝对值相同的数用共轭复数。两个共轭复数的积等于复数模的平方，即。

复数的加减：一般把复数化为代数形式后，好加减一些。实部与实部，虚部与虚部相加或相减。

代数形式复数的乘法：乘法按二项式相乘的规则进行。

代数形式复数的除法：稍复杂一点。因为要求分母必须是实数，所以做分母的复数要通过一个转化。这个转化就是分子和分母同时乘以分母的共轭复数，使得分母为实数。然后再把实部和虚部分别除以分母（已化成了实数）。

三角形式的复数相乘：

总结：模相乘，辐角相加。

三角形式的复数相除：

总结：模相除，辐角相减。

复数的乘方(棣莫佛定理)：

注意：复数的开方运算在电工技术中很难遇到，所以不讲。

取复数实部的表示法，取复数虚部的表示法。

相量符号上加的圆点，表示它是对应于一个时间正弦函数的复数，而不是普通的复数。

KCL讲的是瞬间流过节点的电流和为0，KCL肯定是适用于正弦交流电的，即。

正弦交流电路中的电阻，电感，电容

功率：工程上都是计算瞬时功率p的平均值，并叫做平均功率，用大写字母P表示。

周期性交流电路中的平均功率就是瞬时功率在电压，电流的一个周期内的平均值。也就是电路平均每秒钟接受或发出的电能。瞬时功率为p时，在dt时间内接受或发出的电能为pdt，在一个周期内接受或发出的电能为,所以平均功率为

交流电中电阻的瞬时功率：设，正弦交流电路中电阻元件接受的瞬时功率

根据三角函数公式：

可以看出功率是随时间以两倍于电流的频率变化的，且功率总是正值。而电阻的平均功率P=UI与直流中的电阻相同。

交流电中的电感：流过电感的电流，及电感两端的电压与感应电动势，三者的参考方向一致时。

设电感的正弦电流为：

则电感的电压为：，这是复合函数的求导问题。

求解如下：

1）根据复合函数的求导公工：

其中，

结论： ，感抗（单位是,欧），叫感纳，单位为西S，关联参考方向下，电压比电流超前90度。特别要注意：感抗（或容抗）只在正弦交流电路中有意义，且不是电感元件的电压和电流瞬时值的比值。

电感（电容）元件接受的平均功率为0，因为它是储能元件，不消耗能量，只和外部进行能量交换。所以平均功率不能反映电感元件的能量情况，而需引用别的量。

电感的瞬时功率：

利用公式: 

要可看出功率是以两倍于电流的频率，按正弦函数规律变化，最大值是。

电感中储存的能量：

课题：正弦交流电中的电容元件

关联参考方向下电容元件的电压电流关系为：

设电容元件的电压：

则电流为：，这是一个复函数的导数。

因为：，，所以上式可化为：

结论：，是容抗，单位是欧，叫容纳，单位为西S，关联参考方向下，电压比电流超前-90度。

电容的功率：

电容的储存的能量为：

电容的相量表达式：或

RLC串联电路

设电流相量为，则各元件的电压相量分别为，，

由KVL，端口电压相量为：==

是复阻抗（或简称阻抗），则叫阻抗（或当Z被称为阻抗时，则|Z|称为阻抗模），叫阻抗角就是电压与电流的相位差，其中叫电抗。

复阻抗的模就是端口电压与电流有效值之比：

RLC的并联电路

相量形式的欧姆定律：。

复阻抗、复导纳及其等效互换

复阻抗定义：对正弦交流电路中的一个不含独立源的二端网络，定义网络的关联参考方向下端口电压相量与电流相量的比值。。

复阻抗的模就是电压、电流有效值的比值U/I，复阻抗的辐角即阻抗角就是关联参考方向下电压超前电流的相的位差。

由于

复导纳定义：对同一网络，还可定义关联参考方向下端口电流相量与电压相量的比值叫做网络的复导纳。即。

复导纳的模就是电流、电压有效值的比值I/U。

复导纳的辐角即导纳角就是关联参考方向下电流超前电压的相位差。

对同一网络，显然有：，，

由于

关于电容的损耗：

正弦交流电路中的功率：

重要说明：下面的是指电压比电流超前的相位差。

瞬时功率：

平均功率又称有功功率：

无功功率的定义：由于交流电路中，除了消耗能量外还有着能量的交换，为了衡量交换能量的规模，定义网络与外部交换能量的最大速率叫网络接受的无功功率。用Q表示。则

。无功功率用乏（var）表示。“无功”意味着“交换而不消耗”不能理解为“无用”。值有正有负，所以Q是有正负的代数量，分别代表是感性与容性。接受或发出的正的无功功率叫做感性的，把负的无功功率叫做容性的。一个网络接受容性无功功率等于发出感性无功功率。无功功率的接受或发出，习惯上都是对感性无功功率而言的。

   由于电压、电流间存在相位差，正弦交流电路中的平均功率一般不等于电压、电流有效值的乘积，这个看来象是功率的网络的电压、电流有效值的乘积叫视在功率。它的单位不用瓦而用伏安符号VA。如变压器的容量标的就是VA。P、Q、S组成一个与电压三角形及阻抗三角形相似的以S为斜边的直角三角形，叫做功率三角形。

功率因数：由于，所以，有功功率与视在功率的比值叫做网络的功率因数。并有，即功率因数等于网络的电压比电流超前的相位差的余弦。

对于不含独立源的网络，就是网络的阻抗角，如网络的复阻抗为，则网络的功率因数，可见功率因数由网络本身及电源的频率决定。

复功率：如二端网络端口电压相量为、端口电流相量的共轭复数为，则

，单位是VA。复功率的模是视在功率，辐角的余弦是功率因数，实部是有功功率，虚部是无功功率。

用相量法计算正弦交流电路的公式如下：

，对每一个不含独立源的二端网络，都注以它的复阻抗或复导纳，以便仿用电阻电路的方法，这样的图形叫原电路的相量模型。

十一节，串联谐振电路

什么叫谐振：具有电感和电容的不含独立源的二端网络，在一定条件下，形成网络的端口电压与电流同相的现象叫谐振。谐振时网络的阻抗角为0，即网络的复阻抗为0，或复导纳的虚部为0即。

串联谐振电路的复阻抗：

设为谐振频率，那么：电路呈电阻性，响应电流与激励电压同相，电路的这种工作状态叫串联谐振。

发出串联谐振的条件是：，谐振角频率和谐振频率仅决定于电路的L和C，是电路固有的。所以分别叫固有角频率，固有频率。

改变L或C使电路发生谐振的过程叫调谐。

谐振特点：电路阻抗最小，电流最大，电感电压等于电容电压可能大大超过激励电压。

特征阻抗：，它只与电路的L，C有关，单位是欧。

串联谐振时电感和电容的电压升为倍。

品质因数为：

并联揩振知识

分析复纳各为：

并联谐振时的复导纳：

，当虚部为0时电流与电压同相，电路发生并联谐振。

发生并联谐振的条件：

实际与近似：实际谐振电路中使用的线圈的电阻都很小，可能忽略不计。于是有：

特征阻抗：

并联谐振特点：在的条件下，电路的阻抗最大，激励电流值一定时，电压最大。RL支路电流近似等于电容支路电流可能大超过激励电流。

并联谐振电路谐振时的阻抗：，由于

所以：

十三节有耦合电感的正弦交流电路

磁链：导电线圈或电流回路所链环的磁通量。磁链等于导电线圈匝数N与穿过该线圈各匝的平均磁通量φ的乘积，故又称磁通匝。

互感应：由于一个线圈电流的变化，使另一个线圈产生感应电动势的现象叫做互感应。

互感电动势：由互感应而产生的感应电动势叫互感电动势。

磁耦合线圈：能够产生互感电动势的两个线圈叫做磁耦合线圈。

互感系数（互感）：

同样：，而且：本书不证明。所以以后不必区分统一用M表示。

互感：。已经定义过的电感（自感），。互感和自感单位一样为享（H）。互感的大小反映了一个线圈对另一个线圈产生磁链的能力。

磁耦合线圈的互感除决定于它们的形状、尺寸及磁介质的种类外，还和它们的相对位置有关。相对位置及空间磁介质不同，M将不同。

用耦合系数k表示磁耦合程度，耦合系数定义为：，，

全耦合：当k近似于1时。

磁介质的磁导率为常数时，互感为常数，铁心耦合线圈（如铁心变压器）的互感不是常数，下面只讨论M为常数的情况。

互感电压：由互感电动势而具有的电压叫互感电压。

正弦交流电路中互感的电流与电压的相量关系：

，可见互感电压比引起它的正弦电流超前。式中叫互感电抗。单位是欧。

耦合电感的KVL：

四、有耦合电感的正弦交流电路的计处算。

耦合电感的顺向串联：

耦合电感的反向串联：

耦合电感的同侧并联：

耦合电感的异侧并联：

上符号是同侧并联，下符号是异侧并联。

3、空心变压器

这里以后再学。

十四节理想变压器

理想变压器只有一个参数：变比n

第四章三相正弦交流电路

对称三相量：有效值相等，相位顺序相差相等。否则是不对称三相量。

任选一个作为先达到零值，叫A相；比A滞后120度的叫B相；比B滞后120度的叫C相。

这组电流的解析式为：

它们的相量为：

其中的是旋转因子。并有

对称三相正弦量达到零值的顺序叫做它们的相序。一般所说的上述Ａ相比Ｂ相超前120度的对称三相正弦量的相序叫正序。正序对称三相正弦量的一个特点是：它们在任一瞬间的和恒为零。

对三相电压源，把Ａ相，Ｂ相，Ｃ相的参考正极性端分别标以Ａ、Ｂ、Ｃ，并称为始端（也叫相头）；把参考负极性端分别标以Ｘ、Ｙ、Ｚ，并称为末端（也叫相尾）。

第二节三相电源和负载的连接

三相绕组有Ｙ连接和三角形连接两种。Ｙ连接三个末端连在一起，成为一个公共点Ｎ，叫做中性点。简称中点。Ｙ连接有三线制三相电路和四线制三相电路。有中线的Ｙ连接用表示。

三角形连接是正负串联方式右Ａ，下Ｂ，左Ｃ，只能是三线制。

实际三相电源作三角形连接时，如果接法正确，没有接上负载时，电源回路中没有电流。

三相电路中的负载也作Y或三角形连接。Y连接负载的中点用表示，它可以经中线和电压源的中点相连。一组三相负载，如果它每相的复阻抗相等，就叫做对称负载。否则叫不对称负载。有不对称负载的三相电路叫不对称三相电路。实际负载中，三相电动机是对称负载，三相照明负载一般是不对称负载。

第三节三相电路中的电压和电流

一、相电压、线电压、中点电压

相电压：每相独立源和每相负载的电压。对Y连接负载，规定选择相电压的参考方向从端线到中心。对三角形连接，规定选择相电压的参考方向从。

线电压：两端线间的电压。规定选择三个线电压的参考方向分别从A线到B线，从B线到C线，从C线到A线。

中点电压：Y连接负载中点与Y连接独立源中点N间的电压。规定其参考方向由到N。

Y连接的线电压瞬时值：，相量关系为：

Y连接的线电压相量图可用左图或右图表示都是可以的。

重要特点：

1、

2、线电压的和恒为0，不管线电压是否对称。

表示相电压的有效值。在三相电路中，一般所说的电压，如果不加说明，都指线电压而言。表示线电压有效值的下标可以省去，直接用U表示。

二、相电流、线电流、中线电流

相电流：每相独立源或负载的电流。对独立源，规定选择相电流与该相电压为非关联参考方向。对负载规定选择相电流与该相相电压为关联参考方向。

线电流：每根端线的电流。规定选择各个线电流的参考方向从独立源到负载。

中线电流：中线的电流。规定选择中线电流的参考方向由负载中点到独立源中点。

按照定义及规定的参考方向，Y联接的独立源或负载中，各个线电流就是各个相应的相电流。

在三角形连接的独立源或负载中，线电流和相电流不同，见下图，由KCL它们的关系是：

              ，其相量关系是

如果三个相电流是一组对称正弦量，并设其有效值为，可得线电流也是一组对称正弦量，它们的有效值。三相电路中，一般所说的电流，也都指线电流而言。由KCL，在三线制电路中，三个线电流的瞬时值的和恒等于0，公式为：，不论独立源或负载是Y连接或三角形连接，不论线电流是否对称。

在四线制电路中，三个线电流的瞬时值的和恒等于中线电流，公式为。如果线电流对称，三个线电流在任一瞬间的和都等于0，则等于它们之和的中线电流在任一瞬间也都等于0，也就是中线没有电流，把中线去掉，对电路没有影响。

第四节对称三相电路的特点和计算

第五章非正弦周期性电流电路

分析计算非正弦周期性电流电路的一般方法是先把非正弦周期量分解为傅里叶级数，分别求出各次谐波作用的结果，然后叠加。

第一节周期函数分解为傅里叶级数

凡是满足狄里赫利条件的周期函数，都可以分解为傅里叶级数，电工中遇到的周期函数都是满足狄里赫利条件的。

第一项是不随时间变化的常数，叫做直流分量或恒定分量，它就是在一个周期内的平均值；二项叫做基波或一次谐波；其余各项的频率都为的频率的正整数倍，都基波频率高，统称为高次谐波，并按基频率为的倍数分别叫做二次谐波，三次谐波等。

上式根三角函数公式，还可以展开为

式中：，并有

称为傅里叶系数，可分别按下列各式求得：

求出，就可求得，完成将分解为傅里叶级数。把一个周期函数分解为具有一系列谐波的傅里叶级数，叫做谐波分析。

几种周期函数的特征

波形名------波形图--------------------傅里叶级数------------------------有效值----------平均值

正弦波          

梯形波  

三角波      

矩形波       

锯齿波            

周期函数具有某种对称性时，其傅里叶级数中不含某些谐波：

1奇函数，其波形对称于原点。梯形波，三角形波，矩形波都是奇函数。奇函数的傅里叶级数中只含有正弦项，不含直流分量和余弦项，即。

2偶函数，其波形对称于Y轴，半波整流波，全波整流波都是偶函数，偶函数的傅里叶级中不含正弦项，即。

3奇谐波函数，这种函数前半周的波形移动半个周期，与后半周的波形互为镜像，即对x轴对称，所以也叫镜函数或对称于x轴。梯形波，三角形波，矩形波都是奇谐波函数。奇谐波函数的傅里叶级数中不含直流分量和偶次谐波，只含奇次谐波。

函数对称于原点或X轴，除与函数本身有关外，与计时起点的选择有关。函数对称于X轴，仅决定于其身，与计时起点的选择无关。所以，对某些奇谐波函数，适当选择计时起点，可使即是奇函数，又是偶函数，而使分解结果简化。

尖顶波，平顶波都是奇谐波函数。适当选择计时起点，它们又是奇函数。

第二节周期量的有效值，平均值

有效值：周期电流、周期电压的有效值等于它们的方均根值。如果已知周期量的解析式，可以直接求它的方均根值。

平均值：交变量在一个周期内的平均值为0，为了能够说明问题，一般定义周期量的平均值为它的绝对平均值。

波形因数：等于周期量的有效值与平均值的比值。

第三节非正弦周期性电流电路的计算

1、 把激励分解为傅里叶级数，谐波取到第几项，视计算精度的要求而定。

2、 分别求各次谐波单独作用下的响应。对直流分量，电感元件等于短路，电容元件等于开路，电路改为电阻电路。对每次谐波，电路成为正弦交流电路。要注意的是，电感元件、电容元件对不同频率的谐波的感抗、容抗不同。

3、 将所得各次响应的解析式相加，得到总响应的解析式。对每次谐波的计算，都可用相量法。但注意：把不同次谐波的相量进行加减，是没有意义的。

第四节非正弦周期性电流电路的功率

代替非正弦周期量的正弦量，叫做非正弦周期量的等效正弦量。等效正弦量应满足下列三个条件。

1、 频率等于它所代替的非正弦周期量的频率。

2、 有效值等于它所代替的非正弦周期量的有效值。

3、 用等效正弦量代替非正弦周期量后，电路的功率不变。

等效正弦量的“等效”是近似的。不存在非正弦周期量完全等效的正弦量。

第五节非正弦周期性对称三相电路

电力技术中，需要分析非正弦周期性对称三相电路，这种电路中，三相负载的每相对基波的复阻抗相等（对每次谐波的复阻抗也相等），激励则是对称三相非正弦周期量，即波形相同。对这种电路的分析，也是先把三相激励分解为傅里叶级数。零序是指三个相的相位相同。

分析：奇谐波函数，并为奇函数，它的一次谐波即基波为一组正序对称量，并且它们的七次，十三次等谐波都各是一组正序对称量；它的三次谐波为一组零序对称量，并且它们的9次，15次等谐波都各是一组零序对称量；它的5次谐波为一组负序对称量，且11次，17次等谐波都各是一组负序对称量。

Y连接和*连接电压源略230页。

第六章线性动态电路的时域分析

以上介绍的含动态元件的电路在周期量的激励下的响应，都指明是最终达到的情况、即稳定状态简称稳态。这样的响应只是全部响应的一部分，而不是响应的全部。本章介绍线性动态电路全部响应。

线性动态电路的方程为常系数线性常微分方程。微分方程的阶数为1的动态电路叫一阶电路，微分方程的阶数为2及时以上的动态路，分别叫二阶电路及高阶电路。

第一节换路定律

电路理论中，把电路中支路的接通和切断、元件参数的改变等，统称为换路。并认为换路是立即完成的。

计算全响应，一般都把换路的瞬间取为记时起点、即取为t=0，并把换路前的最后一瞬间记作t=0_，换路后的最初一瞬间记作，0+与0，0与0_之间的间隔则都趋近于零。

总起来：在换咱瞬间，电容元件的电流值有限时，其电压不能跃变；电感元件的电压值有限时，其电流不能跃变。这一结论叫做换路定律。表达式为：

什么是初始值：换路后的最初一瞬间的值。初始值组成解电路微分方程的初始条件。

除了电容电压及其电荷量，电感电流及其磁链，其余的电容电流，电感电压、电阻的电流和电压、电压源的电流、电流源的电压，都是可以跃变的。

第二节RC电路的响应

动态电路与电阻电路不同的一点是，电阻电路中如果没有独立源就没有响应；动态电路中，即使没有独立源，只要动态元件的不为零，就会由它们的初始能量引起响应。动态电路在没有独立源作用的情况下，由初始储能产生的响应叫做零输入响应。

例：在图6-10所示电路中

上面所得的方程是一阶常系数线性齐次常微分方程，它的通解为

常数A由电路的初始条件来确定。

令上式中的,得

最后得到电容的零输入响应电压

并得

结论：RC电路的零输入响应，就是已充电的电容对电阻放电电路的响应，由以上所得可见电容对电阻放电时，都按指数函数变化，随着时间的增长而逐渐衰减为0。

RC的单位与时间的单位相同。所以把叫做RC电路的时间常数。时间常数只决定于电路的参数R，C，与电路的初始情况无关。经过一个时间常数后，衰减为

直流激励下的零状态响应：

动态电路中所有动态元件的都为零的情况，叫做零状态。零状态的动态电路由外施激励引起的响应，叫做零状态响应。就是未充电的电容经电阻接至直流电源充电电路的响应。

最后解得：

上得各式仅适合于t>0时，为了简便，此后，如无需要，不注明这一点。

第三节全响应及其分解

非零状态的电路在独立源作用下的响应叫全响应。

直流电源通过电阻对电容充电的全响应为：。

电阻电压全响应：

对任何线性动态电路的全响应都适用的两种分解。

第1种：线性动态电路的全响应总可以分解为强制分量与自由分量之和，或稳态响应与暂态响应之和，即------ 全响应=稳态响应+暂态响应，以上用经典法解微分方程，都是这样分解的。强制分量的形式决定于外施激励，自由分量的形式与外施激励无关。

如果外施激励是直流量、正弦量或周期量，则强制分量是直流量、同频率正弦量或同周期的周期量，将长期存在。而自由分量总是衰减而最终为0的，只是暂时存在的。当自由分量清失，电路就进入新的稳态，而强制分量就是新的稳态中的响应。所以，在直流量、正弦量或周期量激励的电路中，强制分量又叫稳态分量或稳态响应，自由分量又叫暂态分量或暂态响应，电路存在暂态响应的时期，叫做电路的暂态，也叫电路的过渡过程。

第2种，线性动态电路的全响应又总可以分解为零输入响应与零状态响应之和，即

全响应=零输入响应+零状态响应

第四节RL电路的响应

零输入响应，由KVL得得，

它的通解为：，代入初始条件，解得电感的零输入响应电流

并得，。把定义为时间常数。

直流激励下的零状态响应。

正弦激励下的零状态响应，在图6-21所示RL串联电路中，设

换路后的方程为：

最后得到：

当时，则暂态分量为0，电路换路后不经历过渡过程，立即进入稳态。

当时，暂态分量的起始值最大，等于稳态最大值

第五节分析一阶电路的三要素法

通过以下几节的分析，可以归纳出以下几点：

1． 只有一个动态元件的电路，都属于一阶电路。一阶电路的全响应除等于强制分量和自由分量之和外，而且总为，所以一阶电路的全响应。

2． 同一个一阶电路中的各响应（不限于电容电压式电感电流）的时间常数都是相同的。对只有一个电容元件的电路，其；对只有一个电感元件的电路，其，为该电容元件或电感元件所接二端电网络的戴维南等效电阻。

3． 自由分量的初始值A总为：，其中为全响应的初始值，为强制分量的初始值，而自由分量则是由于强制分量的初始值与全响应的初始值有差异而引起的。

综上所述，一阶电路的响应的一般表达式为

，其中的：强制分量，初始值及时间常数三者统称为一阶电路全响应的三要素，这三者确定了，全响应就确定了。分别计算一阶电路全响应的三要素，代入上式，直接求得响应的方法，叫做三要素法。如果外施激励是直流量，则强制分量是直流量，可将电容代之以开路，将电感代之以短路，按电阻电路计算，如果激励是正弦量，则强制分量是同频率的正弦量，可用相量法计算，计算以上两种情况强制分量，都不需要列响应微分方程。如果外施激励不是直流量或正弦量，则需设法求出强制分量。

第六节RLC串联电路的零输入响应

由KVL得，其中

化简上式得：，这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，可见RLC串联电路属于二阶电路。略去不少。。之后补充。

第七章磁路和铁心线圈

第一节铁磁性物质的磁化

N极的指向为磁场方向。

电流产生的磁场的方向，由右手定则确定。

磁感应强度是磁场的基本物理量，在磁场中一点放一小段长度为电流为I并与磁场方向垂直的导体，如果导体所受磁力为，则该点磁感应强度公式是：

。单位是特斯拉，简称特，符号T；工程上曾用高斯为B的单位，简称高，符号是Gs，1Gs=1/10000T。

均匀磁场：各点的磁感应强度的大小相等，方向相同。

磁通：是磁感应强度矢量的通量的简称。用表示。在均均磁场中，面积为S，与磁场方向垂直的平面的磁通。磁通的单位是韦伯简称韦，符号Wb。工程上曾用麦克斯韦为磁通的单位，简称麦，符号是Mx，1Mx=1/1000Wb。

实验表明：磁场中任一闭合面的总磁通恒等于0，磁场的这一特性叫做磁通的连续性原理。

磁化：物质处于磁场中时，分子电流趋向整齐排列。磁介质中的磁场B相当于两个磁场的叠加，一个是电流在真空中所产生的磁场，一个是磁介质被磁化而产生的附加磁场。不同磁介质磁化的附加磁场不同。有一类磁介质的附加磁场与方向一致，使得磁化后，这种磁介质叫顺磁质，如铝氧等。另一类磁介质的与方向相反，使得，这种磁介质叫反磁质，如铜，氢等。顺磁质和反磁质的都较小得很多，对的影响很微弱，所以顺磁质和反磁质统称为弱磁性物质。

还有一类磁介质，它们的与的方向一致，但远大于，这类磁介质能显著地增强磁场，叫做铁磁性物质，如铁，镍，钴等。人们用磁导率表示磁介质磁化的影响，规定磁导率的单位为H/m（亨/米），并规定真空的磁导率，而把同样电流在磁介质中所生的磁感应强度B与在真空所生磁感应强度之比叫做磁介质的相对磁导率，，把叫做磁介质的磁导率。顺磁质的略大于1而近于1，反磁质则小于1，也近于1，工程上都认为弱磁性物质的

而且不变。铁磁性物质的很大，可达几百几千，但不是常数。

  在均匀磁介质中，磁感应强度与磁导率成正比，规定磁场中一点磁场强度失量的大小等于该点磁感应强度大小与磁介质的磁导率的比值，即：，磁场强度的方向就是该点磁场的方向，H的单位是A/m，工程中常A/cm为H的单位，1A/cm=100A/m。

  决定均匀磁介质中磁感应强度的因素有二：一是产生磁场的电流的大小及通电导体的形状，二是磁介质的影响，即磁介质的磁导率,而,可见磁场强度只与产生磁场的电流的大小及形状有关，而与磁介质无关。

磁位差：，磁位差的单位为A（安）。如果不是直线而是曲线，磁场又是不均匀的，则曲线的磁位差为。

安培环路定律：对磁场中的任一回线，实验证明：磁场强度矢量的闭合线积分等于穿过由回线围成的面积的所有电流的代数和，即。应用安培环路定律时，先对回线选定一个环绕方向，电流方向与回线环绕方向符合右手螺旋关系时，对这个电流取正；反之取负。

补充说明：

2．安培环路定理的应用：

与静电场中利用高斯定理可以求解某些对称分布的电场一样。对于某些具有对称分布的磁场，也可以应用安培环路定理来求解。

(1)    载流长直螺线管内的磁场：

设长直载流螺线管均匀密绕，单位长度上导线的匝数为n，导线内通有恒定的电流I。

螺线管密绕时，磁感应线全部穿过螺线管内，螺线管外中部附近磁感强度近似为零。

取如图所示的安培环路MNOPM，因为螺线管外磁场为零，且NO、PM段在螺线管内与磁场方向垂直，所以磁场对NO、OP、PM三段的积分为零，即：

得：         

由此结果可见：在长直螺线管内中部附近的磁场是均匀的。

(2)    载流螺绕环（螺线环）内、外的磁场：

设环形螺线管内、外半径分别为r₁、r₂，环上线圈密绕，总匝数为N，线圈内通有电流I。

螺绕环密绕时，磁场全部集中在环内，环外无磁场。

由对称性：环内的磁感应线为一系列同心圆环，取半径为 r的磁感应线为环路，则磁场沿该环路的积分为：

即螺线环环内：

当r₂−r₁ << r₁，r₂时，取螺绕环平均半径为R，则：

即：当螺线环很细时，其环内磁感强度的大小与螺线管内磁感强度大小相同。

(3)    无限长载流圆柱体内、外的磁场：

设一半径为R的无限长载流直圆柱体，电流I沿轴线方向均匀分布。

由对称性：圆柱体内、外的磁感应线都是垂直于轴线的同心圆。取半径为r的任意磁感应线为积分环路，则对该闭合环路，磁场的环流为：

①  当r < R 时：

所以，圆柱体内磁感强度随半径r的分布为：

        与r成正比。

②  当r > R 时：

所以，圆柱体外磁感强度随半径r的分布为：

         与r成反比。

二、铁磁性物质的磁化与起始磁化曲线

铁磁性物质是由许多叫做磁畴的天然磁化区域组成的，每个磁畴的休积小，但包含有数亿个分子。每个磁畴中的分子电流排列整齐，因此每个磁畴就是一个永磁体，有很强的磁性。但在未磁化的铁磁性物质中，各个磁畴排列紊乱，磁场相互抵消，对外不显磁性。

右图为B-H曲线，B为磁感应强度，H为磁场强度。

１）真空或空气的B-H曲线为一直线，如图中1。

２）铁磁性物质的B-H如图中曲线2，这是起始磁化曲线，Ｏa段增大较慢，主要由可逆的畴壁移动造成的。在ab段，Ｈ已较大，Ｂ急剧增大，主要是由不可逆的磁畴转向引起的。在bc段，Ｈ已很大，Ｂ的增大却减慢，因为所有磁畴的大部分已转向。到c点为止，所有磁畴都转到与外磁场方向一致，达到了饱和。c点以后，再增大Ｈ，Ｂ增加得很小与真空或空气中一样，近于直线，c点以后的磁化过程是可逆的。在曲线ab段，铁磁性物质中的Ｂ要比真空或空气中大得多，所以通常要求铁磁材料工作在b点附近。就整个起始磁化曲线看来，铁磁性物质的Ｂ和Ｈ的关系为非线性关系，并表明铁磁性物质的磁导率不是常数，要随外磁场Ｈ的变化而变化。

３）曲线３为铁磁性物质的曲线，开始阶段较小，随着Ｈ的增大，达到最大值，以后又减小，并逐渐趋为。在Ｂ－Ｈ曲线上a点叫跗(fu)点，b点叫膝点，c点叫饱和点。

三　磁滞回线与基本磁化曲线

如将Ｈ减小，Ｂ要由沿着比起始磁化曲线稍高的曲线下降，特别是Ｈ降为零而Ｂ不为零，这是由磁畴翻转的不可逆而引起的，这种Ｂ的改变落后于Ｈ的改变的现象叫做磁滞现象，简称磁滞。铁磁性物质在磁场强度减小到零时所保留着的磁感应强度叫剩余磁感应强度，简称剩磁。如要消去剩磁，需将铁磁性物质反向磁化，当Ｈ在相反方向达到Ｈ值时使Ｂ降为零，这一磁场强度值叫做矫顽磁场强度，叫做矫顽力。

图７－９中的虚线叫磁滞回线，将各个磁滞回线的正顶点连成的曲线叫基本磁化曲线，基本磁化曲线略低于起始磁化曲线，但相差很小。

见图７－１０，铁磁性物质磁化过程中磁场强度增加到Ｈ时，如使磁场强度在Ｈ与之间不断往复变动，在Ｐ点与Ｑ点之间可形成一个小的磁滞回线，叫做局部磁滞回线。铁磁性物质在反复磁化过程中，磁畴反复转向，要消耗能量并转变为热能而耗散，这种能量损耗叫做磁滞损耗。它与磁滞回线面积成正比。

四　软磁材料和硬磁材料

软磁材料的磁滞回线狭长，剩磁感应强度和矫顽力都很小，磁滞现象不显著，没有外磁场时磁性基本消失，磁滞回线的面积及磁滞损耗小，磁导率高。硅钢片（电工钢片），铁镍合金（坡莫合金），铁淦氧磁体，纯铁，铸铁。

硬磁材料的磁滞回线宽短，剩磁感应强度和矫顽力都较大。永久磁铁就是用这类材料制成的。铬，钨，钴，镍等的合金，如铬钢，钴钢，钨钢，铝镍硅等。

第二节磁路及磁路定律

磁路：约束在限定铁心范围内的磁场。

有的磁路中有很短的空气隙简称气隙。

磁路的磁通可以分为两部分，绝大部分是通过磁路（包括空气隙）闭合的，叫做主磁通；穿出铁心，经过磁路周围弱磁性物质而闭合的磁通叫漏磁通。工程实际中，采取了很多措施减小漏磁通，使漏磁通只占总磁通的很小一部分，所以磁路计算中一般可将漏磁通略去不计。

磁路没有分支的部分叫做磁路的支路，根据磁通连续原理，不计漏磁通时，磁路支路的各个横截面的磁通都相等，并将该磁通叫做这个支路的磁通。

　　磁路中分支的地方，叫磁路的节点。

磁路的基尔霍夫第一定律：磁路的任一节点所连各支路磁通的代数和等于零，一般对参考方向背离节点的磁通取正号，对指向节点的磁通取负号。

磁动势Ｆ＝ＮＩ：由于励磁电流是磁通的来源，所以把线圈的F=NI叫做磁动势，其单位为A（安）。

磁路的基尔霍夫第二定律：磁路的任一回路中，各段磁位差的代数和等于各磁动势的代数和，即，先选一环绕方向，磁通的参考方向与环绕方向致时，该段磁位差取正号，反之取负号；励磁电流的参考方向与环绕方向符合右手螺旋关系时，该磁通势取正，反之最负。

磁路的欧姆定律

设一段磁路的截面积为S，长为，材料的磁导率为，磁通为。

因为：，，所以该段的磁位差：

叫做该段磁路的磁阻，引用磁阻后，一段磁路的磁位差等于其磁阻与磁通的乘积，磁阻的SI单位为，空气的磁导率为常数，气隙的磁阻是常数。

气隙增大，则磁阻增大，按磁路的欧姆定律可知，磁路的磁通将减小。气隙减小，则磁路的磁通增大。

第三节恒定磁通磁路的计算

磁通不随时间变化而为恒定值的磁路叫恒定磁通磁路。

一类是已知磁路的磁通及结构、尺寸、材料，要计算所需的磁通势，这类问题可直接按磁路定律计算，叫正面问题。

另一类是已知磁路的磁通势及结构、尺寸、材料，要计算磁路中的磁通，由于磁路是非线性的，这类问题一般不能正面求解，叫做反面问题。

第四节交流铁心线圈

影响交流铁心线圈工作的因素有：铁心的磁饱和，磁滞和涡流，漏磁通，线圈电阻。

第五节电磁铁